Question

研究函数的性质，分别给出下面结论（ ）
①若x₁=-x₂，则一定有f（x₁）=-f（x₂）；
②函数f（x）在定义域上是减函数；
③函数f（x）的值域为（-1，1）；
④若规定f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f[f_n（x）]，则对任意n∈N^*恒成立，
其中正确的结论有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer

分析：根据题意，以此分析命题：①可由函数的奇偶性证得；②可结合①结论，先证x≥0时，函数的单调性，进而得到f（x）的单调性；③与②的判断方法一样，先求x≥0时，函数的值域，进而结合奇偶性得到函数在整个定义域上的值域；④由其形式知，此是一个与自然数有关的命题，故采用数学归纳法进行证明，即可得答案．
【解析】
若x1=-x2，则一定有f（x1）===-f（x2），故①正确；
当x≥0时，为增函数，结合奇函数在对称区间上单调性相同，可得②错误；
由②得当x≥0时，f（x）的值域为[0，1），结合奇函数在对称区间上，值域对称，可得③正确；
④当n=1，f1（x）=，f2（x）==，
假设n=k时，fk（x）=成立，
则n=k+1时，fk+1（x）==成立，
由数学归纳法知，④正确．
故选C