Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2，∠PAB=60°．
（1）求证：AD⊥平面PAB；
（2）求二面角A-PB-D的余弦值．

Answer

（1）由勾股定理逆定理，结合题中的数据得到AD⊥PA，又AD⊥AB，PA、AB是平面PAB内的相交直线，所以AD⊥平面PAB；
（2）分别以AB、AD为x、y轴建立如图坐标系，可得P、B、D各点的坐标，从而得到=（-1，2，-），=（2，0，-），算出平面PBD的一个法向量为=（2，3，4），结合平面PAB的一个法向量为=（0，2，0，利用空间向量的夹角公式算出，夹角余弦，即得二面角A-PB-D的余弦值．
【解析】
（1）在△PAD中，由题设PA=AD=2，PD=2，可得
PA2+AD2=PD2，于是AD⊥PA…（3分）
∵在矩形ABCD中，AD⊥AB，PA、AB是平面PAB内的相交直线
∴AD⊥平面PAB；…（6分）
（2）∵AD⊥平面PAB，AD⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面PAB
分别以AB、AD为x、y轴建立如图坐标系，
根据平面ABCD⊥平面PAB且∠PAB=60°得P（1，0，），B（3，0，0），
D（0，2，0）…（9分）
∴=（-1，2，-），=（2，0，-）
设平面PBD的一个法向量为=（x，y，z），
∴，取x=2，得=（2，3，4），
又∵平面PAB的一个法向量为=（0，2，0）…（11分）
∴cos＜，＞===
因此，二面角A-PB-D的余弦值等于…（13分）