Question

如图，设P是圆x²+y²=2上的动点，PD⊥x轴，垂足为D，M为线段PD上一点，且|PD|=|MD|，点A、F₁的坐标分别为（0，），（-1，0）．
（1）求点M的轨迹方程；
（2）求|MA|+|MF₁|的最大值，并求此时点M的坐标．

Answer

（1）确定M、P坐标之间的关系，利用P是圆x2+y2=2上的动点，即可求轨迹；
（2）由（1）知，M的轨迹方程是椭圆，F1是左焦点，设右焦点为F2，利用|MA|+|MF1|=2+|MA|-|MF2|≤2+|AF2|=2+，即可求得结论．
【解析】
（1）设M的坐标为（x，y），P的坐标为（xp，yp）
∵PD⊥x轴，垂足为D，M为线段PD上一点，且|PD|=|MD|，
∴xp=x，yp=y 
∵P是圆x2+y2=2上的动点，
∴x2+2y2=2；
（2）由（1）知，M的轨迹方程是椭圆，F1是左焦点，设右焦点为F2，坐标为（1，0）
∴|MA|+|MF1|=2+|MA|-|MF2|≤2+|AF2|=2+
当A，F2，M三点共线，且M在AF2延长线上时，取等号
直线AF2的方程为，与椭圆方程联立，解得
∴所求最大值为2+，此时M的坐标为（）．