Question

东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元．从今年起，工厂投入100万元科技成本，并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本．预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g（n）与科技成本的投入次数n的关系是g（n）=．若水晶产品的销售价格不变，第n次投入后的年利润为f（n）万元．
（1）求出f（n）的表达式；
（2）问从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？

Answer

（1）先根据题意可得：第n次投入后，产量为10+n万件，价格为100元，固定成本为元，科技成本投入为100n，进而可求年利润为f（n）
（2）将函数整理成，进而可以利用基本不等式，求出最高利润．
【解析】
（1）第n次投入后，产量为10+n万件，价格为100元，固定成本为元，
科技成本投入为100n，…（2分）
所以，年利润为…（6分）
（2）．由（1）
=（万元）  …（9分）
当且仅当时
即n=8 时，利润最高，最高利润为520万元．…（11分）
答：从今年算起第8年利润最高，最高利润为520万元．  …（12分）