Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=3且a_n+1=2S_n+3，数列{b_n}为等差数列，且公差d＞0，b₁+b₂+b₃=15；
（1）求数列{a_n}的通项公式；  
（2）若成等比数列，求数列{b_n}的前项和T_n．

Answer

（1）由题意an+1=2Sn+3，递推出an的表达式，然后两式相减，即可发现an为等比数列，从而求出an的通项公式；
（2）由（1）数列{an}的通项公式，把a1，a2和a3带进去，再根据等比数列的性质求出，b1，b2，b3，推出bn的通项公式，然后再求其前项和Tn．
【解析】
（1）由an+1=2Sn+3，得an=2sn-1+3（n≥2）（2分）
相减得：an+1-an=2（Sn-Sn-1），即an+1-an=2an，则（4分）
∵当n=1时，a2=2a1+3=9，
∴（5分）
∴数列{an}是等比数列，∴an=3•3n-1=3n（6分）
（2）∵b1+b2+b3=15，b1+b3=2b2，∴b2=5（7分）
由题意，而
设b1=5-d，b2=5，b3=5+d，
∴64=（5-d+1）（5+d+9），
∴d2+8d-20=0，得d=2或d=-10（舍去）（10分）
故（12分）