(I)先求出f(x)的导数,根据f′(x)>0求得的区间是单调增区间,f′(x)<0求得的区间是单调减区间,求出极值;研究闭区间上的最值问题,先求出函数的极值,比较极值和端点处的函数值的大小,最后确定出最小值.
(II)欲判别x1和x2的大小,只须先求出其斜率的值,再利用导数求出在x=x1处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.最后求出切线的方程,令y=0求得x2,作差与0比较即得.
【解析】
(Ⅰ)g(x)=x3-ax,g′(x)=3x2-a,(2分)
当a≤0时,g(x)为R上的增函数,
所以g(x)在区间[0,1]上的最小值为g(0)=0;(4分)
当a>0时,g′(x)的变化情况如下表:
所以,函数g(x)在,上单调递增,在上单调递减.(6分)
当,即0<a<3时,g(x)在区间[0,1]上的最小值为;(7分)
当,即a≥3时,g(x)在区间[0,1]上的最小值为g(1)=1-a.(8分)
综上,当a≤0时,g(x)在区间[0,1]上的最小值为g(0)=0;当0<a<3时,g(x)的最小值为;当a≥3时,g(x)的最小值为1-a.
(Ⅱ)证明:曲线y=f(x)在点P(x1,f(x1))()处的切线方程为y-(x12-a)=2x1(x-x1),
令y=0,得,(10分)
所以,因为,所以,x2<x1.(11分)
因为,所以,
所以,(13分)
所以.(14分)