Question

在平面直角坐标系xOy中，已知定点A（-4，0），B（0，-2），半径为r的圆M的圆心M在线段AB的垂直平分线上，且在y轴右侧，圆M被y轴截得的弦长为．
（1）若r为正常数，求圆M的方程；
（2）当r变化时，是否存在定直线l与圆相切？如果存在求出定直线l的方程；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）设圆心M（a，b），利用圆心在直线AB的垂直平分线上，从而|MA|=|MB|，再结合圆心在y轴右侧（即a＞0），圆M被y轴截得的弦长为r，列方程组解之即可；
（2）依题意，可设直线l：y=kx+b与圆M相切，利用圆心到直线l的距离等于半径求得m，判断即可．
【解析】
（1）设圆心M（a，b），由题意可知，解得，
所以圆M的方程为+（y-r-3）2=r2；
（2）
设直线l：y=kx+b，
则=r对任意r＞0恒成立，
由|（-1）r+b-3|=r得：
+（k-2）（b-3）r+（b-3）2=（1+k2）r2，
∴，
解得或．
∴存在两条直线y=3和4x+3y-9=0与动圆M均相切．