Question

如图，△ABC为一个等腰三角形形状的空地，腰CA的长为3（百米），底AB的长为4（百米）．现决定在空地内筑一条笔直的小路EF（宽度不计），将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等、面积分别为S₁和S₂．
（1）若小路一端E为AC的中点，求此时小路的长度；
（2）求的最小值．

Answer

（1）根据题意可知F不在BC上，根据余弦定理求出cosA的值，然后根据余弦定理求出EF的长即可；
（2）若E、F分别在AC和AB上，设AE=x，AF=y，然后利用三角形的面积公式求出S2和S1=S三角形ABC-S2=，再根据基本不等式求出比值的最值即可，若E、F分别在AC和BC上，设CE=x，CF=y，同上根据基本不等式求出比值的最值即可．
【解析】
（1）因为：AE=CE=  AE+4＞CE+3   所以F不在BC上，
AE+AF+EF=CE+CB+FB+EF
所以AE=CE  AF=CB+BF  4-BF=BF+3  BF=
cosA==
所以EF2=AE2+AF2-2AE×AF×cosA=
所以EF=
E为AC中点时，此时小路的长度为
（2）若E、F分别在AC和AB上，
sinA=
设AE=x，AF=y，
所以S2=xysinA= 
S1=S三角形ABC-S2=2-S2
因为x+y=3-x+4-y+3
所以x+y=5
=-1
xy≤
当且仅当x=y=时取等号
所以=
当且仅当x=y=时取等号
最小值是
若E、F分别在AC和BC上，
   sinC=
设CE=x，CF=y
同上可得≥
当且仅当x=y=取等号
若E、F分别在AC和BC上，最小值是