Question

设正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=2，a_n+1=2S_n+2（n∈N^*），
（1）求a₂以及数列{a_n}的通项公式；
（2）在a_n与a_n+1之间插入n个数，使这n个数组成一个公差为d_n的等差数列．
（ⅰ）求证：（n∈N^*）；
（ⅱ）求证：在数列{d_n}中不存在三项d_m，d_s，d_t成等比数列．（其中m，s，t依次成等比数列）

Answer

（1）由a1=2，an+1=2Sn+2（n∈N*），知a2=2S1+2=6，由an+1=2Sn+2，得an+2=2Sn+1+2，由此能求出．
（2）（ⅰ）由题意可知，，通过错项相减能够证明（n∈N*）．
（ⅱ）假设数列{dn}中存在三项dm，ds，dt成等比数列，则，推导出m=s=t，由题设知m=s=t不成立，故在数列{dn}中不存在三项dm，ds，dt成等比数列．
【解析】
（1）∵a1=2，an+1=2Sn+2（n∈N*），
∴a2=2S1+2=2×2+2=6，
由an+1=2Sn+2，
得an+2=2Sn+1+2，
两式相减得an+2=3an+1，
又a2=3a1，且an≠0，
所以数列{an}是等比数列，
且a1=2，q=3，
∴．
（2）（ⅰ）由题意可知
，
，
通过错项相减求得；
（ⅱ）假设数列{dn}中存在三项dm，ds，dt成等比数列，
则，
即，
整理，得（=，
∴，
∴m，s，t依次成等比数列，且m，s，t依次成等差数列，
∴m=s=t，
∵，在an与an+1之间插入n个数，使这n个数组成一个公差为dn的等差数列，
∴m=s=t不成立，
∴在数列{dn}中不存在三项dm，ds，dt成等比数列．