Question

已知a为实数，函数，g（x）=（1+ax）e^x，记F（x）=f（x）•g（x）．
（1）若函数f（x）在点（0，1）处的切线方程为x+y-1=0，求a的值；
（2）若a=1，求函数g（x）的最小值；
（3）当时，解不等式F（x）＜1．

Answer

（1）对f（x）进行求导，根据已知条件函数f（x）在点（0，1）处的切线方程为x+y-1=0，可得f′（0）=-1，可以求出a值；
（2）a=1代入g（x），对其进行求导，得到极值点，利用导数研究函数的单调性问题；
（3）把a=-代入f（x）和g（x），从而得到F（x），再代入不等式F（x）＜1进行求解；
【解析】
（1）∵函数，g（x）=（1+ax）ex，可得
，
∵f'（0）=a=-1，
所以a的值为-1；
（2）由g'（x）=ex+（1+x）ex=0得x=-2，
当x＜-2时，g'（x）＜0，g（x）在（-∞，-2）上单调递减，
当x＞-2时，g'（x）＞0，g（x）在（-2，+∞）上单调递增，
所以函数g（x）的最小值为g（-2）=-e-2；
（3）当时，，
即，
设，
则m（0）=0，，
所以m（x）的单调递减区间是（-∞，-2）和（-2，+∞），
而当x＜-2时，总有成立，
所以不等式F（x）＜1的解集是（-∞，-2）∪（0，+∞）．