Question

已知数列{a_n}，，若以a₁，a₂，…，a_n为系数的二次方程都有根α，β，且满足3α-αβ+3β=1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer

（Ⅰ）将α+β=，αβ=代入3α-αβ+3β=1，得an=an-1+，故=，由此能求出数列{an}的通项公式．
（Ⅱ）由，知，令Tn=．利用错位相减法能求出数列{bn}的前n项和Sn．
【解析】
（Ⅰ）∵将α+β=，αβ=代入3α-αβ+3β=1，
得an=an-1+，（2分）
∴=，
∴=为定值．又a1-=，
∴数列{an-}是首项为，公比为的等比数列．（5分）
∴an-=×（）n-1=（）n，
∴an=（）n+．（6分）
（Ⅱ）∵，
∴，（7分）
令Tn=．①
②
①-②得，，
∴，（11分）
∴．（12分）