Question

抛物线y²=2px（p＞0）上任一点Q到其内一点P（3，1）及焦点F的距离之和的最小值为4．
（1）求抛物线的方程；
（2）设动直线y=kx+b与抛物线交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，且|y₁-y₂|的值为定值a（a＞0），过弦AB的中点M作平行于抛物线的轴的直线交抛物线于点D，求△ABD的面积．

Answer

（1）如图所示：过点P作PM⊥l交准线l、抛物线分别于点M、Q，根据抛物线的定义得|QF|=|QM|，可知：当三点P、Q、M共线时，|QF|+|QP|Q取得最小值．
（2）将直线与抛物线的方程联立，消去一个未知数x得到关于另一个未知数y的一元二次方程，据根与系数的关系可得线段AB的中点M的坐标，进而求得D的坐标，于是求出|DM|．再根据可计算出，另一方面|y1-y2|=a，得出一个关系式，进而计算出面积．
【解析】
（1）如图所示，由抛物线定义，，∴p=2，
∴抛物线的方程为y2=4x．
（2）如下图：由得=0，
∴．
∴．
∴|DM|=．
∴．
∵|y1-y2|====a，
∴．