Question

△ABC中，角A、B、C所对边分别是．
（1）求cos（A+C）+sin2B的值；
（2）若b=2，求△ABC面积的最大值．

Answer

（1）△ABC中，由余弦定理求得cosB的值，利用同角三角函数的基本关系求得sinB的值，再利用二倍角公式、诱导
公式求出cos（A+C）+sin2B的值．
（2）若b=2，则由题意可得 ，利用基本不等式求得ac≤10，再由△ABC面积为 求出
它的最大值．
【解析】
（1）△ABC中，由余弦定理可得 cosB==，
∴sinB=，cos（A+C）+sin2B=-cosB+2sinBcosB=-+2××=．
（2）若b=2，则由题意可得 ，
∴≥2ac-4，ac≤10，当且仅当 a=c时取等号．
故△ABC面积为 ≤=3，故△ABC面积的最大值为 3．