Question

如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，AC=BC=2，AA₁=4，，M，N分别是棱CC₁，AB中点．
（Ⅰ）求证：CN⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）求证：CN∥平面AMB₁；
（Ⅲ）求三棱锥B₁-AMN的体积．

Answer

（Ⅰ）由题可得AA1⊥CN且CN⊥AB又因为AA1∩AB=A所以CN⊥平面ABB1A1．
（Ⅱ）由题意得CM∥NG，CM=NG所以四边形CNGM是平行四边形，所以CN∥MG．又因为CN⊄平面AMB1，GM⊂平面AMB1，所以CN∥平面AMB1．
（Ⅲ）所以先求△AB1N的面积，由（Ⅱ）知GM⊥平面AB1N，三棱锥的高是GM，所以根据三棱锥的体积公式可得体积为．
【解析】
（Ⅰ）证明：因为三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC
又因为CN⊂平面ABC，所以AA1⊥CN．
因为AC=BC=2，N是AB中点，
所以CN⊥AB．
因为AA1∩AB=A，
所以CN⊥平面ABB1A1．
（Ⅱ）证明：取AB1的中点G，连接MG，NG，
因为N，G分别是棱AB，AB1中点，
所以NG∥BB1，．
又因为CM∥BB1，，
所以CM∥NG，CM=NG．
所以四边形CNGM是平行四边形．
所以CN∥MG．
因为CN⊄平面AMB1，GM⊂平面AMB1，
所以CN∥平面AMB1．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知GM⊥平面AB1N．
所以．
故答案为：．