Question

设f（x）=ax³+bx²+cx的极小值为-8，其导函数y=f′（x）的图象开口向下且经过点．
（I）求f（x）的解析式；
（II）方程f（x）+p=0有唯一实数解，求实数P的取值范围．
（II）若对x∈[-3，3]都有f（x）≥m²-14m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer

（1）求出y=f'（x），因为导函数图象经过（-2，0）和（，0），代入即可求出a、b、c之间的关系式，再根据图象可知函数的单调性，而f（x）极小值为-8可得f（-2）=-8，解出即可得到a、b、c的值；
（2）由（1）的结论，求出f（x）的极值，进而根据方程f（x）+p=0有唯一实数解，则函数f（x）的图象与直线y=-p有且只有一个交点，确定实数P的取值范围
（3）根据函数增减性求出函数在区间[-3，3]的最小值大于等于m2-14m，即可求出m的范围．
【解析】
（1）∵f'（x）=3ax2+2bx+c，且y=f'（x）的图象经过点（-2，0），（ ，0），
∴ 
解得
∴f（x）=ax3+2ax2-4ax，
∵y=f'（x）的图象开口向下
∴当x∈（-∞，-2）∪（，+∞）时，f'（x）＜0
当x∈（-2，）时，f'（x）＞0
∴函数y=f（x）在（-∞，-2）上单调递减，在（-2，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，
由f（x）极小值=f（-2）=a（-2）3+2a（-2）2-4a（-2）=-8，
解得a=-1
∴f（x）=-x3-2x2+4x
（2）由（1）得
当x=-2时，f（x）的极小值为-8，
当x=时，f（x）的极大值为，
若方程f（x）+p=0有唯一实数解，
则函数f（x）的图象与直线y=-p有且只有一个交点
则p＜-，或p＞8
（3）要使对x∈[-3，3]都有f（x）≥m2-14m恒成立，
只需f（x）min≥m2-14m即可．
由（1）可知函数y=f（x）在[-3，2）上单调递减，在（-2，）上单调递增，在（ ，3]上单调递减
且f（-2）=-8，f（3）=-33-2×32+4×3=-33＜-8
∴f（x）min=f（3）=-33（11分）-33≥m2-14m⇒3≤m≤11
故所求的实数m的取值范围为{m|3≤m≤11}．