由条件可得xy+yz+xz=-1,利用x+y+z=1,可得xyz=z3-z2-z,利用导数的方法,可求xyz的最大值.
【解析】
∵x+y+z=1①,x2+y2+z2=3②
∴①2-②可得:xy+yz+xz=-1
∴xy+z(x+y)=-1
∵x+y+z=1,
∴x+y=1-z
∴xy=-1-z(x+y)=-1-z(1-z)=z2-z-1
∵x2+y2=3-z2≥2xy=2(z2-z-1)⇒3z2-2z-5≤0⇒-1≤z≤
令f(z)=xyz=z3-z2-z,则f′(z)=3z2-2z-1=(z-1)(3z+1)
令f′(z)>0,可得z>1或z<,
∴f(z)在区间[-1,-]单调递增,在[-,1]单调递减,在[1,]单调递增,
当z=-时,xyz的值为,当z=时,xyz的值为,
∴xyz的最大值为.
故答案为:.