已知函数f(x)=x-xlnx,g(x)=f(x)-xf′(a),其中f′(a)表示函数f(x)在x=a处的导数,a为正常数.
(1)求g(x)的单调区间;
(2)对任意的正实数x
1,x
2,且x
1<x
2,证明:(x
2-x
1)f′(x
2)<f(x
2)-f(x
1)<(x
2-x
1)f′(x
1);
(3)对任意的n∈N
*,且n≥2,证明:
.
考点分析:
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若椭圆C:
+
=1(a>b>0)的离心率e为
,且椭圆C的一个焦点与抛物线y
2=-12x的焦点重合.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设点M(2,0),点Q是椭圆上一点,当|MQ|最小时,试求点Q的坐标;
(3)设P(m,0)为椭圆C长轴(含端点)上的一个动点,过P点斜率为k的直线l交椭圆与A,B两点,若|PA|
2+|PB|
2的值仅依赖于k而与m无关,求k的值.
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已知集合A={x|x=-2n-1,n∈N
*},B={x|x=-6n+3,n∈N
*},设S
n是等差数列{a
n}的前n项和,若{a
n}的任一项a
n∈A∩B,首项a
1是A∩B中的最大数,且-750<S
10<-300.
(Ⅰ)求数列{a
n}的通项公式;
(Ⅱ)若数列{b
n}满足
,令T
n=24(b
2+b
4+b
6+…+b
2n),试比较T
n与
的大小.
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如图所示,已知△ABC内接于圆O,AB是圆O的直径,四边形DCBE为平行四边形,DC⊥平面ABC,AB=2,tan∠EAB=
.
(1)证明:平面ACD⊥平面ADE,
(2)令AC=x,V(x) 表示三棱锥A-CBE的体积,当V(x) 取得最大值时,求直线AD与平面ACE所成角的正弦值.
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为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者,从符合条件的500名志愿者中随机抽样100名志原者的年龄情况如下表所示.
(Ⅰ)频率分布表中的①、②位置应填什么数据?并在答题卡中补全频率分布直方图(如图)再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30,35)岁的人数;
分组(单位:岁) | 频数 | 频率 |
[20,25] | 5 | 0.05 |
[25,30] | ① | 0.20 |
[30,35] | 35 | ② |
[35,40] | 30 | 0.30 |
[40,45] | 10 | 0.10 |
合计 | 100 | 1.00 |
(Ⅱ)在抽出的100名志原者中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加中心广场的宣传活动,从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人,记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X,求X的分布列及数学期望.
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已知:函数f(x)=psinωx•cosωx-cos
2ωx(p>0,ω>0)的最大值为
,最小正周期为
.
(1)求:p,ω的值,f(x)的解析式;
(2)若△ABC的三条边为a,b,c,满足a
2=bc,a边所对的角为A.求:角A的取值范围及函数f(A)的值域.
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