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高中数学试题
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如图,三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为3的正三角形,侧棱AA1垂直于底面...
如图,三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
的底面是边长为3的正三角形,侧棱AA
1
垂直于底面ABC,AA
1
=
,D是CB延长线上一点,且BD=BC.
(1)求证:直线BC
1
∥平面AB
1
D;
(2)求二面角B
1
-AD-B的大小;
(3)求三棱锥C
1
-ABB
1
的体积.
(1)根据三棱柱的性质,可以证出BC1∥DB1,结合线面平行的判定定理可以证出直线BC1∥平面AB1D; (2)过B作BE⊥AD于E,连接EB1,根据三垂线定理得∠B1EB是二面角B1-AD-B的平面角.在Rt△BB1E中,利用三角函数的定义可算出∠B1EB=60°,即二面角B1-AD-B的大小为60°. (3)过A作AF⊥BC于F,利用面面垂直的性质定理,可得AF⊥平面BB1C1C,即AF等于点A到平面B1C1B的距离.利用等边三角形计算出AF的长为,结合三角形B1C1B的面积等于,用锥体体积公式可以算出三棱锥C1-ABB1的体积. 【解析】 (1)∵CB∥C1B1,且BD=BC=B1C1, ∴四边形BDB1C1是平行四边形,可得BC1∥DB1. 又B1D⊂平面AB1D,BC1⊄平面AB1D, ∴直线BC1∥平面AB1D (2)过B作BE⊥AD于E,连接EB1 ∵BB1⊥平面ABD,∴BE是B1E在平面ABD内的射影 结合BE⊥AD,可得B1E⊥AD, ∴∠B1EB是二面角B1-AD-B的平面角. ∵BD=BC=AB, ∴E是AD的中点,得BE是三角形ACD的中位线,所以BE=AC=. 在Rt△BB1E中,tan∠B1BE=== ∴∠B1EB=60°,即二面角B1-AD-B的大小为60° (3)过A作AF⊥BC于F, ∵BB1⊥平面ABC,BB1⊂平面BB1C1C ∴平面BB1C1C⊥平面ABC ∵AF⊥BC,平面BB1C1C∩平面ABC=BC ∴AF⊥平面BB1C1C,即AF为点A到平面BB1C1C的距离. ∵正三角形ABC中,AF=×3=, ∴三棱锥C1-ABB1的体积VC1-ABB1=VA-C1BB1=××=.
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考点分析:
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已知锐角△ABC的三内角A、B、C的对边分别是
.
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的值.
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设{a
n
}是公比大于1的等比数列,S
n
为数列{a
n
}的前n项和.已知S
3
=7,且a
1
+3,3a
2
,a
3
+4构成等差数列.
(1)求数列{a
n
}的通项公式.
(2)令b
n
=lna
3n+1
,n=1,2,…,求数列{b
n
}的前n项和T
n
.
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若等差数列{a
n
}的首项为a
1
,公差为d,前n项的和为S
n
,则数列
为等差数列,且通项为
.类似地,请完成下列命题:若各项均为正数的等比数列{b
n
}的首项为b
1
,公比为q,前n项的积为T
n
,则
.
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已知向量
满足:
,且
,则向量
与
的夹角是
.
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试题属性
题型:解答题
难度:中等
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