Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为直角梯形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD=AD=2AB，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．
（1）求证：BE∥平面PAD；
（2）若AP=2AB，求证：BE⊥平面PCD．

Answer

（1）欲证BE∥平面PAD，而BE⊂平面EBM，可先证平面EBM∥平面APD，取CD的中点M，连接EM、BM，则四边形ABMD为矩形
∴EM∥PD，BM∥AD  BM∩EM=M，满足面面平行的判定；
（2）取PD的中点F，连接FE，根据线面垂直的判定及性质，及等腰三角形性质，结合线面垂直的判定定理可得AF⊥平面PDC，又由BE∥AF，可得BE⊥平面PDC．
证明：（1）取CD的中点M，连接EM、BM，则四边形ABMD为矩形
∴EM∥PD，BM∥AD 
又∵BM∩EM=M，
∴平面EBM∥平面APD
而BE⊂平面EBM
∴BE∥平面PAD
（2）取PD的中点F，连接FE，
则FE∥DC，BE∥AF，
又∵DC⊥AD，DC⊥PA，
∴DC⊥平面PAD，
∴DC⊥AF，DC⊥PD，
∴EF⊥AF，
在Rt△PAD中，∵AD=AP，F为PD的中点，
∴AF⊥PD，又AF⊥EF且PD∩EF=F，
∴AF⊥平面PDC，又BE∥AF，
∴BE⊥平面PDC．