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高中数学试题
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直线l与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,已知=(ax1,by1)...
直线l与椭圆
交于A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)两点,已知
=(ax
1
,by
1
),
=(ax
2
,by
2
),若
且椭圆的离心率
,又椭圆经过点
,O为坐标原点.
(1)求椭圆的方程;
(2)试问:△AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.
(1)利用椭圆的离心率,椭圆经过点,建立方程组,可求几何量,从而可得椭圆的方程; (2)分类讨论,再设直线方程代入椭圆方程,利用韦达定理及,即可得到△AOB的面积为定值. 【解析】 (1)∵椭圆的离心率,椭圆经过点, ∴,∴a=2,b=1 ∴椭圆的方程为…(4分) (2)三角形的面积为定值1 ①当直线AB斜率不存在时,即x1=x2,y1=-y2, 由已知=0,得,∴ 又A(x1,y1)在椭圆上,所以,∴ ∴,∴三角形的面积为定值.…(7分) ②当直线AB斜率存在时:设AB的方程为y=kx+t,联立方程组,∴(k2+4)x2+2ktx+t2-4=0 △>0即4k2t2-4(k2+4)(t2-4)>0,, ∵,∴4x1x2+y1y2=0,∴4x1x2+(kx1+t)(kx2+t)=0,代入整理得:2t2-k2=4= 所以三角形的面积为定值. …(12分)
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考点分析:
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试题属性
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