Question

已知函数f（x）=ln（x+a）-x²-x在x=0处取得极值．
（1）求实数a的值；
（2）若关于x的方程f（x）=-+b在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围；
（3）证明：对任意的正整数n，不等式2+都成立．

Answer

（1）函数f（x）=ln（x+a）-x2-x，对其进行求导，在x=0处取得极值，可得f′（0）=0，求得a值；
（2）关于x的方程f（x）=-+b在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，将问题转化为φ（x）=0，在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，对φ（x）对进行求导，从而求出b的范围；
（3）f（x）=ln（x+1）-x2-x的定义域为{x|x＞-1}，利用导数研究其单调性，可以推出ln（x+1）-x2-x≤0，令x=，可以得到ln（+1）＜+ 利用此不等式进行放缩证明；
【解析】
（1）函数f（x）=ln（x+a）-x2-x
f′（x）=-2x-1               …（1分）
当x=0时，f（x）取得极值，
∴f′（0）=0                                    …（2分）
故解得a=1，经检验a=1符合题意．…（3分）
（2）由a=1知f（x）=ln（x+1）-x2-x
由f（x）=-x+b，得ln（x+1）-x2+x-b=0
令φ（x）=ln（x+1）-x2+-b，
则f（x）=-x+b在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根等价于φ（x）=0
在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根．…（4分）
φ′（x）=-2x+=，…（5分）
当x∈[0，1]时，φ′（x）＞0，于是φ（x）在{0，1）上单调递增；
当x∈（1，2]时，φ′（x）＜0，于是φ（x）在（1，2]上单调递减，
依题意有φ（0）=-b≤0，
φ（1）=ln（1+1）-1+-b＞0，
φ（2）=ln（1+2）-4+3-b≤0
解得，ln3-1≤b＜ln2+；           …（9分）
（3）f（x）=ln（x+1）-x2-x
的定义域为{x|x＞-1}，由（1）知
f（x）=，
令f′（x）=0得，x=0或x=-（舍去），
∴当-1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x＞0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
∴f（0）为f（x）在（-1，+∞）上的最大值．
∴f（x）≤f（0），故ln（x+1）-x2-x≤0（当且仅当x=0时，等号成立）…（11分）
对任意正整数n，取x=＞0得，ln（+1）＜+ …（12分）
∴ln（）＜
故2+++…+＞ln2+ln+ln+…+ln=ln（n+1）．…（14分）