Question

已知函数f（x）=（ax²+x）e^x，其中e是自然对数的底数，a∈R．
（Ⅰ）当a＜0时，求不等式f（x）＞0的解集；
（Ⅱ）当a=0时，求使方程f（x）=x+2在[k，k+1]上有解的整数k的所有取值．

Answer

（Ⅰ）函数f（x）=（ax2+x）ex，已知ex＞0，不等式f（x）＞0，转化为，根据a＜0，求出不等式的解集；
（Ⅱ）因为a=0时，求使方程f（x）=x+2在[k，k+1]上有解，等价于方程有解，利用导数研究其单调性利用零点定理判断其根的个数；
【解析】
（Ⅰ）因为ex＞0，所以f（x）＞0，即ax2+x＞0．
又因为a＜0，所以不等式可化为
所以不等式f（x）＞0的解集为（0，）．     …（4分）
（Ⅱ）当a=0时，方程f（x）=x+2，即xex=x+2，由于ex＞0，
所以x=0不是方程的解，所以原方程等价于
令，因为对于x∈（-∞，0）∪（0，+∞）恒成立，
所以函数h（x）在（-∞，0）和（0，+∞）内是单调递增函数，
又h（1）=e-3＜0，h（2）=e2-2＞0，，h（-2）=e-2＞0，
所以函数h（x）在区间[1，2]和[-3，-2]上分别有一个零点，
即方程f（x）=x+2有且只有两个实数根，且分别在区间[1，2]和[-3，-2]上，
故k=1或k=-3．    …（12分）