Question

已知函数f（x）=（ax²-2x+a）e^-x
（I）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设，若x＞l时总有g（x）＜h（x），求实数c范围．

Answer

（I）当a=l时，确定函数的定义域，求导函数，利用导数的正负，可得函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）构造F（x）=g（x）-h（x）=（a-）x2-2ax+lnx（x＞1），x＞l时总有g（x）＜h（x），等价于F（x）＜0在（1，+∞）上恒成立，分类讨论，确定函数的单调性，即可求a的取值范围．
【解析】
（I）当a=l时，f（x）=（ax2-2x+a）e-x，其定义域为R
求导函数可得：f′（x）=-（x-1）（x-3）e-x，
由f′（x）＞0，可得1＜x＜3；由f′（x）＜0，可得x＜1或x＞3
∴函数f（x）的单调递增区间为（1，3），单调递减区间为（-∞，1），（3，+∞）；
（Ⅱ）∵f′（x）=-[ax2-2（a+1）x+a]e-x，∴g（x）=ax2-2（a+1）x
令F（x）=g（x）-h（x）=（a-）x2-2ax+lnx（x＞1）
x＞l时总有g（x）＜h（x），等价于F（x）＜0在（1，+∞）上恒成立
求导函数，可得F′（x）=
①若a＞，令F′（x）=0，得x1=1，x2=
当x2＞x1=1，即时，在（1，x2）上，F′（x）＜0，则函数单调递减，在（x2，+∞）上，F′（x）＞0，则函数单调递增，故函数的值域为[F（x2），+∞），不合题意，舍去；
②若a≤，即2a-1≤0时，在（1，+∞）上，F′（x）＜0，则函数单调递减，∴F（x）＜F（1）=-a-≤0，∴-≤a≤，
综上，a的取值范围为[-，]．