Question

省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f（x）与时刻x（时）的关系为f（x）=+2a+，x∈R，其中a是与气象有关的参数，且a∈]，若取每天f（x）的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M（a）．
（1）令t=，x∈R，求t的取值范围；
（2）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问：目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？

Answer

（1）先取倒数，然后对得到的函数式的分子分母同除以x，再利用导数求出的取值范围，最后根据反比例函数的单调性求出t的范围即可；
（2）f（x）=g（t）=|t-a|+2a+．下面分类讨论：当 0＜a＜，当 ＞a≥，分别求出函数g（x）的最大值M（a），然后解不等式M（a）≤2即可求出所求．
【解析】
（1）当x=0时，t=0；（2分）
当0＜x≤24时，=x+．对于函数y=x+，∵y′=1-，
∴当0＜x＜1时，y′＜0，函数y=x+单调递减，
当1＜x≤24时，y′＞0，函数y=x+单调递增，
∴y∈[2，+∞）．
综上，t的取值范围是[0，]．
（2）当a∈（0，]时，f（x）=g（t）=|t-a|+2a+=
∵g（0）=3a+，g（）=a+，
g（0）-g（）=2a-．
故M（a）==
当且仅当a≤时，M（a）≤2，
故a∈（0，]时不超标，a∈（，]时超标．