Question

若二次函数f（x）=x²+bx+c满足f（2）=f（-2），且函数的f（x）的一个零点为1．
（Ⅰ） 求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）对任意的，4m²f（x）+f（x-1）≥4-4m²恒成立，求实数m的取值范围．

Answer

（Ⅰ）由题意可得函数图象的对称轴为x=0，求得b=0，再由f（1）=0求得c=-1，从而得到函数的解析式．
（Ⅱ）由题意知，得在上恒成立．令g（x）=，求得g（x）的最大值，从而得到，由此求得实数m的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）∵f（2）=f（-2）且f（1）=0，故函数图象的对称轴为x=0，
∴b=0，c=-1，∴f（x）=x2-1．…（4分）
（Ⅱ）由题意知：4m2（x2-1）+（x-1）2-1+4m2-4≥0，在上恒成立，
整理得在上恒成立．…（6分）
令g（x）=，
∵，∴，…（8分）
当时，函数g（x）的最大值，…（10分）
所以，解得或．   …（12分）