Question

已知{a_n}是递增数列，且对于任意的n∈N^*，a_n=n²+λn恒成立，则实数λ的取值范围是    ．

Answer

由对于任意的n∈N*，an=n2+λn恒成立，知an+1-an=（n+1）2+λ（n+1）-n2-λn=2n+1+λ，由{an}是递增数列，知an+1-an＞a2-a1=3+λ＞0，由此能求出实数λ的取值范围．
【解析】
∵对于任意的n∈N*，an=n2+λn恒成立，
an+1-an=（n+1）2+λ（n+1）-n2-λn=2n+1+λ，
∵{an}是递增数列，
∴an+1-an＞0，
又an+1-an=（n+1）2+λ（n+1）-n2-λn=2n+1+λ
∴当n=1时，an+1-an最小，
∴an+1-an＞a2-a1=3+λ＞0，
∴λ＞-3．
故答案为：（-3，+∞）．