Question

已知函数f（x）=cos（2x-）+sin²x-cos²x．
（I）求函数f（x）的单调减区间；
（II）若f（a）=，2a是第一象限角，求sin2a的值．

Answer

（I）利用两角差的余弦公式，二倍角公式化简函数f（x）=sin（2x- ），由2kπ+≤x≤2kπ+，k∈z，求出
函数f（x）的减区间．
（II）根据sin（2a- ）=，2kπ-＜2a-＜2kπ+，k∈z，利用同角三角函数的基本关系 求出cos（2a- ）
的值，由sin2a=sin[（2a- ）+]，利用两角和的正弦公式求得结果．
【解析】
（I）因为函数f（x）=cos（2x-）+sin2x-cos2x= cos2x+sin2x-cos2x 
=sin2x-cos2x=sin（2x- ），∴当 2kπ+≤x≤2kπ+，k∈z，
 即 kπ+≤x≤kπ+  时，函数 f（x）递减．
故，所求函数f（x）的减区间为[kπ+≤x≤kπ+]，k∈z．
（II）因为2a是第一象限角，且 sin（2a- ）=，所以，2kπ-＜2a-＜2kπ+，k∈z．
由 f（a）=sin（2a- ）=，得cos（2a- ）=．所以，sin2a=sin[（2a- ）+]=．