Question

已知f₁（x）=x+1，且f_n（x）=f₁[f_n-1（x）]，（n≥2，n∈N₊）
（1）求f₂（x），f₃（x）的表达式，猜想f_n（x）的表达式，并用数学归纳法证明；
（2）若关于x的函数在区间（-∞，-1]上的最小值为12，求n．

Answer

（1）利用f1（x）=x+1，且fn（x）=f1[fn-1（x）]，计算可得f2（x），f3（x）的表达式，猜想fn（x）=x+n，再用数学归纳法证明即可；
（2）由fn（x）=x+n，可得f1（x）+f2（x）+…+fn（x）=nx+，再利用配方法确定函数在区间（-∞，-1]上的最小值为12，即可求得n的值．
（1）【解析】
f2（x）=f1[f1（x）]=x+2，f3（x）=f1[f2（x）]=x+3，
猜想fn（x）=x+n
证明：①当n=1时，f1（x）=x+1，成立；
②假设n=k时成立，即fk（x）=x+k，则n=k+1时，fk+1（x）=f1[fk（x）]=x+k+1
∴n=k+1时，结论成立
由①②可知fn（x）=x+n；
（2）【解析】
∵fn（x）=x+n
∴f1（x）+f2（x）+…+fn（x）=nx+
∴g（x）=x2+f1（x）+f2（x）+…+fn（x）=x2+nx+=（）2+
①当-＞-1，即n＜2时，函数在（-∞，-1]上为减函数，∴x=-1时，g（x）min==12，方程无正整数解舍去；
②当-≤-1，即n≥2时，x=-时，g（x）min==12，∴n=6或n=-8（舍去）
综上，n=6．