Question

如图在四棱锥P-ABCD中，侧棱PD⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点，底面ABCD是菱形，
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）求证：平面PAC⊥平面PBD．

Answer

（1）取CD中点E，连接ME，NE，结合已知条件，由三角形中位线定理可得ME∥AD，NE∥PD，由面面平行的判定定理易判断出平面MNE∥平面PAD，再由面面平行的判定定理得到MN∥平面PAD；
（2）由已知中底面ABCD是菱形，PD⊥底面ABCD，结合正方形的性质及线面垂直的性质，可得AC⊥BD，PD⊥AC，由线面垂直的判定定理得AC⊥平面PBD，再由面面垂直的判定定理可得平面PAC⊥平面PBD；
证明：（1）取CD中点E，连接ME，NE，
由已知M，N分别是AB，PC的中点，
∴ME∥AD，NE∥PD
又ME，NE⊂平面MNE，ME∩NE=E，
所以，平面MNE∥平面PAD，
所以，MN∥平面PAD
（2）ABCD为菱形，
所以AC⊥BD，
又PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AC，
所以AC⊥平面PBD，
所以平面PAC⊥平面PBD