Question

一个底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱内接于半径为的球，则该棱柱体积的最大值为    ．

Answer

画出图形，设底面正三角形的边长为a，然后根据勾股定理求得棱柱的高的一半，进而得到用a表示的三棱柱的体积，再利用导数即可求得答案．
【解析】
如图所示，设球心为O，正三棱柱的上下底面的中心分别为O1，O2，底面正三角形的边长为a，
则AO2=×a=．
由已知得O1O2⊥底面，
在Rt△OAO2中，∠AO2O=90°，由勾股定理得OO2===，
∴V三棱柱=a2×2×=，
令f（a）=9a4-a6（0＜a＜2），
则f′（a）=36a3-6a5=-6a3（a2-6），令f′（a）=0，
又∵a＞0，解得a=．
∵在区间（0，）上，f′（a）＞0；在区间（，2）上，f′（a）＜0．
∴函数f（a）在区间（0，）上单调递增；在区间（，2）上单调递减．
∴函数f（a）在a=时取得极大值．
∵函数f（a）在开区间（0，2）有唯一的极值点，因此a=也是最大值点．
∴（V三棱柱）max=×=3．
故选C．