Question

设f（x）=ln（x+1）++ax+b（a，b∈R，a，b为常数），曲线y=f（x）与直线y=x在（0，0）点相切．
（I）求a，b的值；
（II）证明：当0＜x＜2时，f（x）＜．

Answer

（I）由y=f（x）过（0，0），可求b的值，根据曲线y=f（x）与直线在（0，0）点相切，利用导函数，可求a的值；
（II）由（I）知f（x）=ln（x+1）+，由均值不等式，可得，构造函数k（x）=ln（x+1）-x，可得ln（x+1）＜x，从而当x＞0时，f（x）＜，记h（x）=（x+6）f（x）-9x，可证h（x）在（0，2）内单调递减，从而h（x）＜0，故问题得证．
（I）【解析】
由y=f（x）过（0，0），∴f（0）=0，∴b=-1
∵曲线y=f（x）与直线在（0，0）点相切．
∴y′|x=0=
∴a=0；
（II）证明：由（I）知f（x）=ln（x+1）+
由均值不等式，当x＞0时，，∴①
令k（x）=ln（x+1）-x，则k（0）=0，k′（x）=，∴k（x）＜0
∴ln（x+1）＜x，②
由①②得，当x＞0时，f（x）＜
记h（x）=（x+6）f（x）-9x，则当0＜x＜2时，h′（x）=f（x）+（x+6）f′（x）-9
＜＜
=
∴h（x）在（0，2）内单调递减，又h（0）=0，∴h（x）＜0
∴当0＜x＜2时，f（x）＜．