Question

已知f（x）=m（x-2m）（x+m+3），g（x）=2^x-2．若同时满足条件：
（1）∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；
（2）∃x∈（-∞，-4），f（x）g（x）＜0．
则m的取值范围是（ ）
A．（-4，0）
B．（-∞，-2）
C．（-4，-2）
D．∅

Answer

由（1）可推得f（x）=m（x-2m）（x+m+3）＜0在x≥1时恒成立，建立关于m的不等式组可得m的范围，然后由（2）可得：∃x∈（-∞，-4），使（x-2m）（x+m+3）＜0成立，只要使-4比2m，-m-3中较小的一个大即可，分类讨论可得m的范围，综合可得．
【解析】
∵g（x）=2x-2，当x≥1时，g（x）≥0，
又∵∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0
∴f（x）=m（x-2m）（x+m+3）＜0在x≥1时恒成立
所以二次函数图象开口只能向下，且与x轴交点都在（1，0）的左侧，
即 ，解得-4＜m＜0；
又因为∃x∈（-∞，-4），f（x）g（x）＜0．
而此时有g（x）=2x-2＜0．
∴∃x∈（-∞，-4），使f（x）=m（x-2m）（x+m+3）＞0成立，
由于m＜0，所以∃x∈（-∞，-4），使（x-2m）（x+m+3）＜0成立，
故只要使-4比2m，-m-3中较小的一个大即可，
当m∈（-1，0）时，2m＞-m-3，只要-4＞-m-3，解得m＞1与m∈（-1，0）的交集为空集；
当m=-1时，两根为-2；-2＞-4，不符合；
当m∈（-4，-1）时，2m＜-m-3，∴只要-4＞2m，解得m＜-2，
综上可得m的取值范围是：（-4，-2）
故选C