Question

设函数f（x）=|x-a|，g（x）=x+1．
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥3g（x）-1的解集．
（2）若不等式f（x）≤g（x）在x∈[0，2]上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）当a=1时，f（x）=|x-1|，然后分x＜和x≥两种情况加以讨论，分别解关于x的不等式，最后取两部分的并集即可得到原不等式的解集；
（2）由题意，得|x-a|≤x+1在x∈[0，2]上恒成立，分a≤0、a≥2和0＜a＜2三种情况加以讨论，分别求出满足条件实数a的取值范围，最后综合即可得到实数a的取值范围．
【解析】
（1）当a=1时，f（x）=|x-1|，
不等式f（x）≥3g（x）-1即|x-1|≥3x+2．
①当x＜时，由于|x-1|≥0且3x+2＜0，不等式成立
②当x≥时，|x-1|≥3x+2≥0，两边平方得：（x-1）2≥（3x+2）2，
解之得：-≤x≤-
综上所述，不等式f（x）≥3g（x）-1的解集是（-∞，-]；
（2）不等式f（x）≤g（x），即|x-a|≤x+1在x∈[0，2]上恒成立，
①当a≤0时，不等式转化为x-a≤x+1，
可得a≥-1时不等式恒成立，所以-1≤a≤0；
②当a≥2时，不等式转化为a-x≤x+1，可得x≥（a-1），
可得当（a-1）≤0时，即a≤1，与大前提矛盾，故这种情况不成立；
③当0＜a＜2时，不等式转化为x-a≤x+1在[a，2]上恒成立，且a-x≤x+1在[0，a]上恒成立，
即a≥-1在[a，2]上恒成立，且x≥（a-1）在[0，a]上恒成立，
∴此时a的取值范围为0＜a≤1
综上所述，实数a的取值范围是[-1，1]