Question

设函数f（x）=msinx+3cosx（m∈R），若函数f（x）的图象与直线y=n（n为常数）相邻两个交点的横坐标为
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，f（A）=3，a=2，求△ABC周长l的范围．

Answer

（1）利用函数f（x）的图象与直线y=n（n为常数）相邻两个交点的横坐标为，建立方程，即可求得m的值，从而可求函数f（x）的解析式；
（2）先确定A的值，再利用余弦定理、基本不等式，即可求△ABC周长l的范围．
【解析】
（1）根据题意得：msin+3cos=msin+3cos=n，
变形得：m===3
∴f（x）=3sinx+3cosx；
（2）f（x）=3sinx+3cosx=6sin（x+）
∵f（A）=3，∴6sin（A-）=3，∵A∈（0，π），∴A=
∵a=2，∴4=b2+c2-2bccos=b2+c2+bc=（b+c）2-bc
∵b+c≥2，∴0＜bc≤
∴≤（b+c）2-bc＜（b+c）2，
∴≤4＜（b+c）2，∴2＜b+c≤
∴4＜a+b+c≤2+
∴4＜l≤2+