Question

已知△ABC中，内角A、B、C的对边的边长为a、b、c，且bcosC=（2a-c）cosB，则y=cos²A+cos²C的最小值为    ．

Answer

△ABC中，由正弦定理可求得cosB=，从而求得 B=，A+C=．利用两角和差的正弦公式，二倍角公式化简 y=cos2A+cos2C=1-sin（2A-），再由
-＜2A-＜，求得-＜sin（2A-）≤1，由此可得y的最小值．
【解析】
△ABC中，由正弦定理可得：sinBcosC=2sinAcosB-sinCcosB，即sin（B+C）=2sinAcosB．
因为0＜A＜π，所以sinA≠0，∴cosB=，∴B=，A+C=．
∴2A+2C=，则y=cos2A+cos2C=+=+=1+[cos2A-sin2A]
=1-sin（2A-）．
∵0＜2A＜，∴-＜2A-＜，则-＜sin（2A-）≤1，
故y=cos2A+cos2C的最小值为 1-=，
故答案为 ．