Question

在极坐标系Ox中，已知曲线C₁：ρcos（=，C₂：ρ=1（0≤θ≤π），C₃：，设C₁与C₂交于点M
（I）求点M的极坐标；
（II）若动直线l过点M，且与曲线C₃交于两个不同的点A，B，求的最小值．

Answer

（I）把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，解方程组求得点M的直角坐标为（1，0），从而求得它的极坐标．
（II）设动直线l的参数方程为 ，代入曲线C3的方程整理，利用一元二次方程根与系数的关系求得t1+t2和t1•t2的值，再由|MA|•|MB|=|t1•t2|，|AB|=
，求出=，由此求得它的最小值．
【解析】
（I）曲线C1：ρcos（=，即 x-y=1，C2：ρ=1（0≤θ≤π），即 x2+y2=1（y≥0）．
 由求得点M的坐标为（1，0），故它的极坐标为（1，0）．
（II）设动直线l的参数方程为 ，代入曲线C3的方程整理可得 （3sin2α+cos2α）t2+2cosα•t-2=0，
设点A，B对应的参数分别为t1，t2，则 t1+t2=，t1•t2=．
∴|MA|•|MB|=|t1•t2|=，|AB|==，
∴=．
∵0≤α≤π，∴0≤sin2α≤1，故的最小值为 =．