Question

已知函数f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和最小值；
（Ⅱ）若函数F（x）=在[1，e]上是最小值为，求a的值；
（Ⅲ）当b＞0时，求证：（其中e=2.718 28…是自然对数的底数）．

Answer

（Ⅰ）求导函数，令f′（x）≥0，确定函数的单调递增区间；令f′（x）≤0，确定函数的单调递减区间，从而可求函数的最小值；
（Ⅱ）F（x）==，求导函数可得F′（x）=，分类讨论，确定函数的单调性，利用函数在[1，e]上是最小值为，可求a的值；
（Ⅲ）由（I）可知当b＞0时，有f（b）≥f（x）min=f（）=-，所以，从而可知结论成立．
（Ⅰ）【解析】
求导函数可得：f′（x）=lnx+1（x＞0）
令f′（x）≥0，即lnx≥-1，∴x；令f′（x）≤0，即lnx≤-1，∴0＜x；
∴f（x）单调递增区间为[，+∞），单调递减区间为（0，]
∴f（x）min=f（）=-
（Ⅱ）【解析】
F（x）==，求导函数可得F′（x）=
当a≥0时，F′（x）＞0，F（x）在[1，e]上单调递增，F（x）min=-a=，∴a=-∉[0，+∞），舍去；
当a＜0时，F（x）在（0，-a）单调递减，在（-a，+∞）单调递增
若a∈（-1，0），F（x）在[1，e]上单调递增，F（x）min=-a=，∴a=-∉（-1，0），舍去；
若a∈[-e，-1]，F（x）在（1，-a）单调递减，在（-a，e）单调递增，
∴F（x）min=F（-a）=ln（-a）+1=，∴a=-∈[-e，-1]；
若a∈（-∞，-1），F（x）在[1，e]上单调递减，∴F（x）min=F（e）=-∉（-∞，-1），舍去；
综上所述：a=-
（Ⅲ）证明：由（I）可知当b＞0时，有f（b）≥f（x）min=f（）=-，∴，
即．
∴