Question

已知函数，
（1）若函数f（x）在[1，+∞）上是增函数，求正实数a的取值范围；
（2）a=1时，求f（x）在上的最大值和最小值；
（3）a=1时，求证：对大于1的正整数n，．

Answer

（1）若函数f（x）在[1，+∞）上是增函数，则[1，+∞）是函数增区间的子区间，求函数的导数，令导数大于0，求出函数的单调增区间，再让[1，+∞）的区间端点与函数增区间的区间端点比较即可．
（2）a=1时，求f（x）的导数，再令导数等于0，得到的x的值为函数的极值点，在借助函数在的单调性，判断函数当x为何值时有最大值，何时有最小值．
（3）借助（2）中判断的函数在的单调性，把证明转化为比较函数值大小的问题．
【解析】
（1）由已知：，
依题意：对x∈[1，+∞）成立，
∴ax-1≥0，对x∈[1，+∞）恒成立，即，对x∈[1，+∞）恒成立，
∴，即a≥1．             
（2）当a=1时，，
若，则f'（x）＜0，
若x∈（1，2]，则f'（x）＞0，
故x=1是函数f（x）在区间上唯一的极小值点，也就是最小值点，
故f（x）min=f（1）=0．                 
又，
∵e3＞2.73=19.683＞16，
∴，∴，
∴f（x）在上最大值是=1-ln2，
∴f（x）在最大1-ln2，最小0．       
（3）当a=1时，由（1）知，在[1，+∞）是增函数．
当n＞1时，令，则x＞1，∴f（x）＞f（1）=0，
即，
即．