Question

选修4-2：矩阵与变换
若曲线C：x²+4xy+2y²=1在矩阵M=对应的线性变换作用下变成曲线C′：x²-2y²=1
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求M的逆矩阵M^-1．

Answer

（Ⅰ）设向量在矩阵M对应的线性变换作用下的像为，则有：=，由此能求出a，b的值．
（Ⅱ）由矩阵M=是可逆的，能求出它的逆矩阵M-1．
【解析】
（Ⅰ）设向量在矩阵M对应的线性变换作用下的像为，
则有：=，
即…（2分）
代入x2-2y2=1得（1-2b2）x2+（2a-4b）xy+（a2-2）y2=1，
∴，
解得…（4分）
（Ⅱ）∵矩阵M=
∴detM=1×1-2×0=1≠0，…（5分）
∴矩阵M是可逆的，
∴M-1=．…（7分）