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选修4-5:不等式选讲 (I)已知|x1-2|<1,|x2-2|<1.求证:2<...

选修4-5:不等式选讲
(I)已知|x1-2|<1,|x2-2|<1.求证:2<x1-x2<6,|x1-x2|<2.
(II)设a1,a2,a3均为正数,且a1+a2+a3=k,求证:manfen5.com 满分网
(I)解不等式|x1-2|<1,|x2-2|<1,利用不等式同号可加性,可证得2<x1-x2<6,根据绝对值的性质|x1-x2|=|(x1-2)-(x2-2)|≤|x1-2|+|x2-2|,可证明,|x1-x2|<2. (II)由a1,a2,a3均为正数,且a1+a2+a3=k,可得利用柯西不等式可得≥9,进而利用不等式基本性质1,得到答案. 【解析】 (Ⅰ)∵|x1-2|<1,|x2-2|<1 ∴1<x1<3,1<x2<3 ∴2<x1+x2<6…(2分) ∵|x1-x2|=|(x1-2)-(x2-2)|≤|x1-2|+|x2-2|<1+1=2 ∴|x1-x2|<2…(4分) (Ⅱ)∵…(6分) 又因为k=a1+a2+a3>0,所以…(7分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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