Question

直线与椭圆相交于A，B两点，该椭圆上点P，使得△PAB面积等于3，这样的点P共有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer

设出P1的坐标，表示出四边形P1AOB面积S利用两角和公式整理后．利用三角函数的性质求得面积的最大值，进而求得△P1AB的最大值，利用6√2-6＜3判断出点P不可能在直线AB的上方，进而推断出在直线AB的下方有两个点P，
【解析】
设P1（4cosα，3sinα）（0＜α＜），即点P1在第一象限的椭圆上，考虑四边形P1AOB面积S，
S=S△OAP1+S△OBP1=×4（3sinα）+×3（4cosα）=6（sinα+cosα）=6sin（α+），∴Smax=6．
∵S△OAB=×4×3=6为定值，
∴S△P1AB的最大值为6-6．
∵6-6＜3，
∴点P不可能在直线AB的上方，显然在直线AB的下方有两个点P，
故选B．