Question

在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知F是线段BD的中点．
（Ⅰ）试在棱D₁D上确定一点E，使得EF⊥B₁C；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三棱锥B₁-EFC的体积．

Answer

（1）当点E为棱DD1的中点时，会使得EF⊥B1C，下面用下面垂直来证明即可；
（2）先由已知结合（1）得出垂直关系，再由几何关系求出三棱锥的底面和高，代公式可求．
【解析】
（1）当点E为棱DD1的中点时，会使得EF⊥B1C．下面证明：…（2分）
∵E、F分别为棱DD1、BD的中点，∴EF∥BD1，…（3分）
∵B1C⊥BC1，B1C⊥C1D1，又BC1∩C1D1=C1，∴B1C⊥平面BC1D1，∴B1C⊥BD1
同理可得B1C⊥BD，又BD∩BD1=B，
故BD1⊥平面AB1C，所以B1C⊥BD1…（5分）
即EF⊥B1C；…（6分）
（2）由（1）可知：EF⊥B1C，又EF⊥FC，故EF⊥平面B1CF，
又EF=BD1=．…（7分）
CF=，B1C=2，B1F=，满足勾股定理…（8分）
故=××=．…（10分）
故三棱锥B1-EFC的体积为V=×=1．…（13分）