Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，满足，且a₁，a₂+5，a₃成等差数列．
（1）求a₁的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）证明：对一切正整数n，有．

Answer

（1）在2Sn=an+1-2n+1+1中，令分别令n=1，2，可求得a2=2a1+3，a3=6a1+13，又a1，a2+5，a3成等差数列，从而可求得a1；
（2）由2Sn=an+1-2n+1+1，得an+2=3an+1+2n+1①，an+1=3an+2n②，由①②可知{an+2n}为首项是3，3为公比的等比数列，从而可求an；
（3）（法一），由an=3n-2n=（3-2）（3n-1+3n-2×2+3n-3×22+…+2n-1）≥3n-1可得≤，累加后利用等比数列的求和公式可证得结论；
（法二）由an+1=3n+1-2n+1＞2×3n-2n+1=2an可得，＜•，于是当n≥2时，＜•，＜•，，…，＜•，累乘得：＜•，从而可证得+++…+＜．
【解析】
（1）在2Sn=an+1-2n+1+1中，
令n=1得：2S1=a2-22+1，
令n=2得：2S2=a3-23+1，
解得：a2=2a1+3，a3=6a1+13
又2（a2+5）=a1+a3
解得a1=1
（2）由2Sn=an+1-2n+1+1，
得an+2=3an+1+2n+1，
又a1=1，a2=5也满足a2=3a1+21，
所以an+1=3an+2n对n∈N*成立
∴an+1+2n+1=3（an+2n），又a1=1，a1+21=3，
∴an+2n=3n，
∴an=3n-2n；
（3）（法一）
∵an=3n-2n=（3-2）（3n-1+3n-2×2+3n-3×22+…+2n-1）≥3n-1
∴≤，
∴+++…+≤1+++…+=＜；
（法二）∵an+1=3n+1-2n+1＞2×3n-2n+1=2an，
∴＜•，，
当n≥2时，＜•，＜•，，
…＜•，
累乘得：＜•，
∴+++…+≤1++×+…+×＜＜．