Question

设函数f（x）=ae^x++b（a＞0）．
（Ⅰ）求f（x）在[0，+∞）内的最小值；
（Ⅱ）设曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=，求a，b的值．

Answer

（Ⅰ）设t=ex（t≥1），则，求出导函数，再进行分类讨论：①当a≥1时，y′＞0，在t≥1上是增函数；②当0＜a＜1时，利用基本不等式，当且仅当at=1（x=-lna）时，f（x）取得最小值；
（Ⅱ）求导函数，利用曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=，建立方程组，即可求得a，b的值．
【解析】
（Ⅰ）设t=ex（t≥1），则
∴
①当a≥1时，y′＞0，∴在t≥1上是增函数，
∴当t=1（x=0）时，f（x）的最小值为
②当0＜a＜1时，，当且仅当at=1（x=-lna）时，f（x）的最小值为b+2；
（Ⅱ）求导函数，可得）
∵曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=，
∴，即，解得．