Question

已知三棱锥P-ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC，D、F分别为AC、PC的中点，DE⊥AP于E．
（Ⅰ）求证：AP⊥平面BDE；
（Ⅱ）若AE：EP=1：2，求截面BEF分三棱锥P-ABC所成上、下两部分的体积比．

Answer

（Ⅰ）先证明BD⊥平面ACP，可得BD⊥AP，根据AP⊥DE，，利用线面垂直的判定，可得AP⊥平面BDE
（Ⅱ）截面BEF分三棱锥P-ABC所成上、下两部分，均可看成是以B为顶点的棱锥，根据AE：EP=1：2，F为AC的中点，求出两个棱锥底面积的比例，即可得到答案．
证明：（Ⅰ）∵PC⊥底面ABC，
∴PC⊥BD，
又AB=BC，D为AC中点，
∴BD⊥AC
∵PC∩AC=C
∴BD⊥平面ACP
∵AP⊂平面ACP，
∴BD⊥AP，又AP⊥DE，BD∩DE=D，
∴AP⊥平面BDE
【解析】
（II）∵AE：EP=1：2，F为AC的中点，
∴S△PEF：S△PAC==1：3
则S△PEF：S四边形ACEF=1：2
∵截面BEF分三棱锥P-ABC所成上、下两部分是均以B为顶点，底面分别为△PEF和四边形ACEF的棱锥
故截面BEF分三棱锥P-ABC所成上、下两部分的体积比即为S△PEF：S四边形ACEF=1：2