Question

设f（x）=（ax+b）lnx-4ax，对于任意的a∈（1，2），f（x）均单调递增，则b的取值范围为    ．

Answer

已知f（x）=（ax+b）lnx-4ax，对于任意的a∈（1，2），f（x）均单调递增，说明f′（x）≥0恒成立，可以推出a与b的关系，再利用常数分离法进行求解；
【解析】
∵f（x）=（ax+b）lnx-4ax，对于任意的a∈（1，2），f（x）均单调递增，
∴f′（x）=alnx+（ax+b）×-4a≥0在x＞0上为单调增函数，
∴（ax+b）×≥4a-alnx，
∴b≥3ax-axlnx（x＞0），
令g（x）=3ax-axlnx=a（3x-xlnx）（x＞0），a∈（1，2），
求3x-xlnx的最大值，令h（x）=3-（lnx+1）=0，可得x=e2，
存在唯一极值点也是最大值点，h（x）max=h（e2）=3e2-e2×2=e2，
∴g（x）max=2×e2=2e2，∴b≥2e2，
故答案为：[2e2，+∞）；