Question

设函数f（log₄x）=．
（1）证明：对任意的实数x，都有f（x）+f（1-x）=1；
（2）解不等式：f（x²-2x）+f（4-2x）＜1．

Answer

（1）令t=log4x，则 x=4t，由条件求得 f（t）=，从而求得 f（x）=，从而证得结论成立．
（2）根据f（x）在（-∞，+∞） 上单调递增，不等式f（x2-2x）＜1-f（4-2x）利用f（x）+f（1-x）=1可化为f（x2-2x）＜f（2x-3），即 x2-2x＜2x-3，由此求得它的解集．
【解析】
（1）令t=log4x，则 x=4t，∴f（t）=，即 f（x）=，
∴f（x）+f（1-x）=+==1，故结论成立．
（2）∵f（x）==1- 在（-∞，+∞） 上是单调递增函数，
∴由不等式：f（x2-2x）+f（4-2x）＜1可得 f（x2-2x）＜1-f（4-2x），再由f（x）+f（1-x）=1可得 f（x2-2x）＜f（2x-3）．
∴x2-2x＜2x-3，解得1＜x＜3，
故不等式的解集为 （1，3）．