Question

直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，AB=2AD=2CD=2．
（1）求证：AC⊥平面BB₁C₁C；
（2）若P为A₁B₁的中点，求证：DP∥平面ACB₁．

Answer

（1）直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，由BB1⊥平面ABCD，知BB1⊥AC，有∠BAD=∠ADC=90°，知AB=2AD=2CD=2，由此能够证明AC⊥平面BB1C1C．
（2）由P为A1B1的中点，知PB1∥AB，且，由此能够证明DP∥面ACB1．
证明：（1）直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，
BB1⊥平面ABCD，
∴BB1⊥AC，
∵∠BAD=∠ADC=90°，
AB=2AD=2CD=2，
∴AC=，∴BC=，∴BC⊥AC，
∴AC⊥平面BB1C1C．
（2）由P为A1B1的中点，知PB1∥AB，
且，
∵DC∥AB，DC=，
∴DC∥PB1，且DC=PB1，
∴DCB1P为平行四边形，从而CB1∥DP，
∵CB1⊂面ACB1，DP⊄面ACB1，
∴DP∥面ACB1．