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已知实数q≠0,数列{an}的前n项和Sn,a1≠0,对于任意正整数m,n且m>...

已知实数q≠0,数列{an}的前n项和Sn,a1≠0,对于任意正整数m,n且m>n,manfen5.com 满分网恒成立.
(1)证明数列{an}是等比数列;
(2)若正整数i,j,k成公差为3的等差数列,Si,Sj,Sk按一定顺序排列成等差数列,求q的值.
(1)令m=1,可得Sn-a1=qSn-1,Sn+1-a1=qSn,两式相减得:an+1=qan(n≥2),经检验对第一项也成立,从而结论成立. (2)不妨设i,i+3,i+6,分Si,Si+3,Si+6成等差数列、Si+3,Si,Si+6成等差数列、Si+3,Si+6,Si成等差数列这三种情况,分别求出公比q的值. 【解析】 (1)令m=1,Sn-a1=qSn-1,Sn+1-a1=qSn,两式相减得:an+1=qan(n≥2), 令n=1,a2=qa1,所以数列{an}是等比数列, (2)不妨设公差为3的等差数列为 i,i+3,i+6,若Si,Si+3,Si+6成等差数列, 则 ai+1+ai+2+ai+3=ai+4+ai+5+ai+6=( ai+1+ai+2+ai+3 )q3, 即 1=q3,解得 q=1. 若Si+3,Si,Si+6成等差数列,则-( ai+1+ai+2+ai+3 )=( ai+1+ai+2+ai+3+ai+4+ai+5+ai+6 ), ∴2( ai+1+ai+2+ai+3 )+( ai+1+ai+2+ai+3 )q3=0,即 2+q3=0,解得 . 若Si+3,Si+6,Si成等差数列,则有 ( ai+4+ai+5+ai+6)=-( ai+1+ai+2+ai+3+ai+4+ai+5+ai+6 ), ∴2( ai+1+ai+2+ai+3 )q3+( ai+1+ai+2+ai+3 )=0,∴2q3+1=0,解得. 综上可得,q的值等于1,或等于,或等于.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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