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已知函数f(x)=x2-2ax+5(a>1). (1)若f(x)的定义域和值域均...

已知函数f(x)=x2-2ax+5(a>1).
(1)若f(x)的定义域和值域均是[1,a],求实数a的值;
(2)若对任意的x1,x2∈[1,a+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤4,求实数a的取值范围.
(1)先将函数进行配方得到对称轴,判定出函数f(x)在[1,a]上的单调性,然后根据定义域和值域均为[1,a]建立方程组,解之即可; (2)将a与2进行比较,将条件“对任意的x1,x2∈[1,a+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤4”转化成对任意的x1,x2∈[1,a+1],总有f(x)max-f(x)min≤4恒成立即可. 【解析】 (1)∵f(x)=(x-a)2+5-a2(a>1), ∴f(x)在[1,a]上是减函数,又定义域和值域均为[1,a], ∴, 即,解得a=2. (2)若a≥2,又x=a∈[1,a+1],且,(a+1)-a≤a-1 ∴f(x)max=f(1)=6-2a,f(x)min=f(a)=5-a2. ∵对任意的x1,x2∈[1,a+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤4, ∴f(x)max-f(x)min≤4,即(6-2a)-(5-a2)≤4,解得-1≤a≤3, 又a≥2,∴2≤a≤3. 若1<a<2,fmax(x)=f(a+1)=6-a2,f(x)min=f(a)=5-a2, f(x)max-f(x)min≤4显然成立,综上1<a≤3.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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